мы разошлись, у ребенка фамилия отца и он записан в графе отцовства. какие нужны документы на вывоз ребенка за границу

доверенность от отца заверенная у нотариуса

Ребёнка не вывозят, т. к. он не вещь. Он выезжает сам с сопровождением или без такового.
При выезде с одним из родителей согласие второго не требуется.

Статья 20 Федерального закона "О порядке выезда из Российской Федерации":

Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе, кроме паспорта, нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

Следует различать выезд из РФ и въезд в другие страны. Это абсолютно разные понятия.

Смотря в какую заграницу и на какое время. От этого зависит, нужно или нет иметь согласие отца на выезд ребенка с матерью и наоборот. Но выезд ещё не все. В некоторые страны не пустят, если такого согласия не будет. Это уже проблема не выезда, а въезда.
О необходимых документах - http://www.klerk.ru/law/articles/112954/

доверенность стоит около 1500р

Загранпаспорта и визы ( если вы едете в визовую страну) . Больше ничего

Когда ребенок выезжает с одним из родитедлей ничего оформлять не надо. Но если отец против, он может дать запрет на вывоз.

Чтобы вывезти - свидетельство о рождении и всё. А там уже зависит от того, в какую страну везете.

Нужно пойти к нотариусу с отцом ребенка и оформить доверенность на вас. там будит указан срок.