Можно ли без отца прописать ребенка на его жил. площадь? Отец ребенка в армии. Там еще прописана бабушка.

Нельзя, потому что именно родитель должен подавать документы для регистрации ребёнка.

пиши в часть мужу, может отпуск дадут по этому обстоятельству.

зачем такие сложности? Зарегистрируйте к себе, а отец вернется, зарегистрирует по своему месту жительства....

А заявление (от имени отца) кто писать будет?

сходи в паспортный, узнай.