Администрация нашего учреждения издало приказ о запрещении отпусков в летние месяцы. Законно ли такое действие ?

в связи с производственной необходимостью (обосновано документально)

нет, не законно ...

Разве что в летние месяцы у вас намечается чрезвычайная ситуация типа землетрясения или наводнения. Скорее всего такой приказ от вредности.