Если брак не оформлен, имеет ли муж право на работе пойти в очередной отпуск приурочив его к рождению ребёнка.

Если брак не оформлен - значит у Вас нет мужа: ) А у человека, которого Вы называете мужем, нет жены, а стало быть - и семьи. А у холостых мужчин ребенки каждый день могут рождаться, и не по одному, и что - каждый раз в отпуск? Хорошая награда за "секс без обязательств":)

Если его отпустит начальство. А по закону - нет.

официально - нет

нет брака - нет мужа...

Ребенок то чей? если ребенок этого мужчины- то почему бы и нет?
Для того чтобы признать ребенка брак не нужен.

Такого права нет, и брак тут нипричем. По закону только имеет право взять 5 дней б/с.
Статья 128 ТК РФ. Отпуск без сохранения заработной платы
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
...работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней.
А очередной отпуск запросто - как договорится с начальником