В каких случаях слова по новому, на счет, вдаль пишутся по разному приведите примеры. Очень надо!

Предлог насчёт пишется слитно: договориться насчёт выходного.
Если существительное с предлогом, то пишется раздельно: положить деньги на счет

Наречие по-новому пишется через дефис: заработало по-новому
Если предлог с сущ. , то пишется раздельно: по новому столу