Прошу Вас, помогите решить задачу: Доказать, что a(a4-1000) делится на 3 при любом целом «а»

представим а в виде
a=b+1, где b - произвольное целое число

(b+1)((b+1)^4 -1000) = (b+1)( b^4 +4b^3 +6b^2 +4b +1 -1000) =
=(b+1)(b^4 +4b^3 +6b^2 +4b -999) = (b+1)(b^4 +4b^3 +4b) +(b+1)(6b^2 -999)
рассмотрим первое слагаемое. так как второе делится на 3
(b+1)(b^4 +4b^3 +4b) = b(b+1)(b^3 +4b^2 +4) = b(b+1) *(b^3+b^2+1 +3b^2 +3)
опять не рассматриваем то, что явно делится на 3
осталось рассмотреть
b(b+1)(b^3 +b^2+1)

воспользуемся тем фактом, что произведение трех целых чисел, идущих подряд, делится на 3.
у нас есть множитель b(b+1) - это произведение двух чисел, идущих одно за другим.
чтобы получить третьего соседа разложим b^3 +b^2 +1 по степеням (b-1).
Итак : b^3 +b^2 +1 = (b-1+1)^3 + (b-1+1)^2 +1 = (b-1)^3 + 3(b-1)^2 +3(b-1) + 1 + (b-1)^2 +2(b-1) +1 +1=
=(b-1)^3 + 3(b-1)^2 +3(b-1) + (b-1)^2 +2(b-1) +3

итак, используя множитель b(b+1), получаем, что все слагаемые делятся на 3 .

так как изначально число b было взято совершенно произвольно, это означает, что при любом a
выражение a(a^4-1000) делится на 3