Кто должен проводить проверку счетчика

Сюда в жкх читайте http://forum.ozpp.ru

Если вы собственник - вы и занимаетесь организацией проверки вашего счетчика.
А конкретно- специалиста (Организацию) , которая проводит проверку приборов учета вам должен сообщить поставщик услуги. В нашем городе так.

Какого? Как счетчик называется, та фирма и обслуживает.

Поверку счетчиков производит организация имеющая лицензию на данный вид работ.

Не смотря на то, что счетчик установлен в Вашей квартире, ответственность (в т. ч. и проверку показаний, а также его исправность) должна проводить организация на чьем учете он состоит. Т. е. - это не Вы лично!
Обычно это или управляющая компания дома, ДЕЗ, ЖКХ и др.