Можно ли попросить в трудовой книге попросить написать должность, немного иную, от названия должности в орга-ции?

можно, если Вы ы хороших взаимоотношениях с работодателем)

Ну если нормальная организация, то у нее есть штатное расписание, где и ваша должность как то называется и вы занимали должность согласно штатному расписанию. Как раз правильные не будут брать на себя ответственность и заведомо ложные данные заносить в трудовую книжку. А в шараге без вопроса, можно попросить написать все что хочешь, знаю такие случаи.