должны ли сотрудники ПФР проверять наличие или отсутствие доп. дохода ухаживающего за престарелым до оформления договора

В основном ограничиваются, справкой из службы занятости или проверкой трудовой книжки .

а как?? ? не должны

Если вы ухаживаете за инвалидом, то при оформлении всех документов вы даете подписку о том, что сообщите в ПФ, если вы устроитесь на работу. ПФ проверять не будет. Но, когда узнает вас заставят вернуть все переплаченные деньги. Не вернете сами, подадут в суд.

а вы поэтому и предоставляете, в подтверждение отсутствия доходов, справку что не стоите на учете в службе занятости и трудовую без записи трудоустройства. на основании этих данных оформляете уход. если после этих событий у вас появится официальный доход, то ПФ взыщет с вас не законно полученые суммы

Они не проверяют. Если узнают, то вычтут.