Я начинаю работать с мая по октябрь, полгода. Будут ли меня оформлять официально либо по договору??

Вы можете работать официально по договору. В гражданско-правовом договоре указывается один из способов оплаты: за проделанную работу, за отработанное время и т. п. Можете работать и по срочному договору. Как работодатель будет оформлять, или не будет оформлять.
Короче, вариантов море!