Если я хочу прочитать дуа, то обязательно ли делать его на молитвенном коврике?

Нет не обязательно

Как думаешь почему, поклонений в исламе пять. Почему дуга после молитвы а не во время? И почему дарет надо брать?
Все просто.. .
1) потому что чаще делать не станешь а реже будешь забывать содержание Корана.
2) Дуа это не молитва, просить Бога о чем либо бесполезно потому как Он дает необходимое по Своему желанию.
3) а что бы ты понимал кто ты а кто Бог.
Просьбы редко бывают исполненными а вот желания бывают исполняются, потому что желания это чувства просьбы более материальны. Что бы испытать чувства и ощущения не надо какие то особые условия и их легко можно вызвать. Вот желаю автомобиль это не желание а просьба. А вот хочу любви это желание.

2.244 Будьте рачительны к молитвам, и также к средней молитве. На молитве стойте пред Богом благоговейно.
2.245 И если вы в какой либо опасности, то молитесь или идучи пешком, или едучи на коне; а когда вы в безопасности, то призывайте Бога так, как научил Он вас тому, чего вы прежде не знали.