можно ли сдавать на права не по месту жительства?

Можно. В Москве есть пара отделений, работающих с иногородними. Но нужна врем. регистрация.

С доками с автошколы, что закончили курсы.

Можно сдавать в любом регионе при наличии временной регистрации и справки с ГИБДД по основному месту прописки, что В/У не выдавалось.

хлопотно все это