Как правильно писать "Иванов И. И" или "Иванов И. И. "

Вообще-то, если это не анкета, документ или перечень, то правильнее будет написать "И. И. Иванов".
Хороший тон (ныне, к сожалению, многими забытый) диктует в обращениях, подписях и прочих упоминаниях имени с фамилией писать сначала личное имя, а потом уже родовое.
И точки, конечно, нужны при каждом сокращении. Если точки нет, то по правилам следовало бы думать, что это такое второе имя - "И".