можно ли попробовать построит решения для линейного уравнения в частых производных с помощью интеграла фурье.

Любые линейные дифференциальные уравнения (в том числе и в частных производных) всегда решаются при помощи разложения в ряд Фурье.
Фурье-разложение - это универсальный метод решения линейных дифференциальных уравнений.