у Мелисы потемнел ствол, отростки вялые и не приживаются, листья сохнут, что делать ?

Из сада выкопать новую, оттает, приживётся.

Для мелиссы нужно очень много солнца, ей самое место на грядке. Дома она только мучается.

Посеять новую, а эту выбросить. Сейчас самое время.

Проблема в состоянии корневой системы.

Скорее всего, речь идет о плектрантусе (т. н. "комнатная мята/мелисса")
Чтобы понять, как правильно ухаживать за растением, желательно знать его правильное название.
Плектрантус не прощает переувлажнения и переохлаждения.
Пока не поздно, переукорените верхушку,
в воде, в теплом светлом месте.
Если, все-же, у Вас мелисса лекарственная, садовое растение,
тогда на подоконнике нужна подсветка и полив в соответствии с температурой. Черенками укоренить крайне сложно.
Удачи.