Помогите с задачей по геометрии.

Имеем прямоугольный треугольник АВС, где угол при вершине А - прямой,
обозначим
(АВ) = а,
(АС) = b,
(ВС) = m + n.
радиус вписанной окружности = r.

Опустим перпендикуляры на каждую из сторон из центра О вписанной окружности.

Тогда перпендикуляр (ОР) , опущенный на сторону (ВС) , делит сторону (ВС) точкой Р на два отрезка (ВР) =m, (РС) =n.

Перпендикуляр (ОQ), опущенный на сторону (АВ) , делит ее на два отрезка (ВQ) =m , (QA)= r.
Это легко доказывается, поскольку (ОВ) -биссектриса угла В, т. е. треугольник ОРВ равен треугольнику ОQВ - и оба - прямоугольные.

Перпендикуляр (ОR), опущенный из центра О на сторону (АС) , делит ее на два отрезка (АR) = r, (CR) = n.
Это легко доказывается, поскольку (ОС) -биссектриса угла С, т. е. треугольник ОРС равен треугольнику ОRС - и оба - прямоугольные.

Итак, имеем:
1) a = m + r,
2) b = n + r.

Возведя 1) в квадрат, получим:
3) a^2 = m^2 + 2mr + r^2.

Возведя 2) в квадрат, получим:
4) b^2 = n^2 + 2nr + r^2.

Сумма 3)+4) дает:
5) a^2 + b^2 = m^2 + n^2 + 2r(m+ r) + 2r^2.

С другой стороны,
6) a^2 + b^2 = (n+m)^2 = n^2 + 2mn+ m^2.

Вычтя из 5) - 6), найдем:
2r(m+n) + 2r^2 = 2mn, откуда:
7) r(m+n) + r^2 = mn.

Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения его катетов, т. е. имеем:
S = 0,5a*b.

Подставив в условия 1)-2), получим:
9) S = 0,5a*b = 0,5(m+r)(n+r) =
= 0,5[mn + r(m+n) + r^2].

Подставив в последнее условие 7), получим:
S = 0,5[mn + r(m+n) + r^2] =
= 0,5[mn + mn] =
0,5[2mn] = mn.

10) S = mn, ч. т. д.