Да, первым делом оформляется свидетельство о рождении. Затем можно оформить мед. полис сходить.
Автоматически ребенок НЕ пропишется. Не знаю ваш регион, но вроде как повсеместно введено это. Теперь матери и отцу нужно идти в домоуправление вместе. Один из родителей пишет согласие, что не против чтобы ребенок был прописан у другого родителя ( в случае отдельно прописанных супругов) ну а другой родитель пишет заявление на прописку. И нужна справка с места прописки второго родителя, что ребенок там не зарегистрирован.
И если вы не подадите документы на прописку в 3-х месячный срок, то вас оштрафуют на очень приличную сумму, поэтому прописывать идти надо обязательно. На руки вам дадут свидетельство о регистрации.