Какие налоги платят федеральные органы исполнительной власти? В частности, служба судебных приставов. И платят ли вообще?

Это бюджетная организация, они не оказывают платных услуг. Все финансируется из бюджета, т. е. берется у нас и отдается им.
Они платят
1) Страховые взносы в фонды
2) НДФЛ (как налоговый агент)
3) Транспортный налог (при наличии транспорта)
4) Налог на имущество (за некоторыми исключениями, перечисленными в НК)
5) Плата за загрязнение.
Земельный не платят, т. к. это не их собственность, а собственность государства.