При экспорте фото из фш-меняется цвет в режиме "слайдшоу" и при печати. Как правильно сохранять фото?

Если кратко, то используйте цветовое пространство sRGB или экспортируйте "для Сети" (при этом цветовое пространство будет конвертировано в sRGB).

Это - типичная проблема вытекающая у начинающих из-за использования Adobe RGB. Этот профиль имеет некоторые преимущества в цветопередаче сине-зелёных тонов только при печати на машинах, "понимающих" его, и при условии, что он использовался на протяжении всего процесса обработки - начиная от профиля камеры. Во всех остальных случаях его использование вносит только бардак и сумятицу.

P.S. Причина в том, что не все программы и устройства способны / настроены распознавать Adobe RGB, даже если профиль и встроен в изображение, и выводят его как sRGB - в результате мы и имеем багрово-синюшные лица и тусклые жёлто-оранжевые цвета.

P.P.S. Ваш второй снимок: сохранён, назначен профиль Adobe RGB, конвертирован в sRGB, обрезан, отмасштабирван и залит назад, на Мейл. Результат: