Таким образом, достаточным условием равновесия является равенство минимуму значения U. - Механика. Что такое U?

Ну вы и шутник

допустим на сегодняшний день "чистота" условного продукта достаточна - 0,0001.
это есть тот минимум, с которым работает программа.
если у меня есть чистота в миллион раз "чище", значит я "умнее", если в бесконечность раз, значит я совершенство.
равенств бесконечность вариантов, где значения минимум не существует.

Обычно система стремится к минимуму потенциальной энергии. Это из лагранжевой формулировки механики.
Но ньютоновская и лагранжева формулировки выводятся друг из друга математически - этот принцип можно вывести и из ньютоновой. По Ньютону, сила F = dp / dt - производная импульса, но он, возможно, не заметил*, что кроме того сила F = grad U, т. е. если U в данной точке не имеет локальный экстремум, то по-любасу есть сила.
Я даже объясню, почему желателен локальный минимум, а не максимум (или критическая, но не экстремальная точка) . Потому что при даже бесконечно малом сдвиге тела появляется сила, которая стремится отклонить его от равновесия ещё дальше.
А если локальный минимум, то любая попытка малого сдвига системы из состояния устойчивого равновесия приведет к возникновению сил, направленных на восстановление равновесия.

*Вероятно, Лагранж заметил такую фишку (ещё заметил, что поведение системы определяется только координатами и скоростями, то бишь импульсами) , когда формулировал классическую механику по-своему. Не знаю, историю классической механики не изучал.
Между прочим, тот принцип, что эволюция системы однозначно определяется лишь координатами и импульсами и не зависит от прочих производных, до сих пор "работает".