Эм-м, ну, обозначим первое слагаемое X, второе - Y, а третье... пусть будет Z. Рассмотрим сумму первых двух слагаемых:
X+Y = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ca) =
[ ab^2+ac^2-a^3+bc^2+ba^2-b^3 ] / (2abc) =
[ ab^2+ba^2 + ac^2+bc^2 - (a^3+b^3) ] / (2abc) =
[ ab(a+b) + c^2(a+b) - (a+b)(a^2-ab+b^2) ] / (2abc) =
(a+b) [ ab + c^2 - a^2 + ab - b^2 ] / (2abc) =
(a+b) [ 2ab - (a^2+b^2-c^2) ] / (2abc) =
(a+b)/c - (a+b)/c (a^2+b^2-c^2)/(2ab) =
(a+b)/c - (a+b)/c Z
Тогда при условии, что X+Y+Z=1, получаем:
X+Y+Z = (a+b)/c - (a+b)/c Z + Z = 1
(a+b)/c - (a+b)/c Z + Z = 1
Z [ 1 - (a+b)/c ] = 1 - (a+b)/c
Получаем, что, если (a+b)/c не равно 1 (*), то Z = 1. Следовательно:
a^2+b^2-c^2 = 2ab
a^2+b^2-c^2 - 2ab = 0
(a-b)^2-c^2 = 0
(a-b-c)(a-b+c) = 0
Отсюда либо a = b+c, либо b = a+c
Если выполнено первое равенство, то:
X = (b^2+c^2-a^2)/(2bc) =
(b^2+c^2-(b+c)^2)/(2bc) =
(b^2+c^2- b^2-c^2 - 2bc)/(2bc) = -1
Следовательно, Y= 1-X-Z = 1
Если же выполнено второе равенство, b = a+c, то аналогично рассуждая получим Y=-1
Если же (a+b)/c = 1, то подставим c=a+b в выражение для Z, получим Z = -1, затем, подставляя a=c-b в выражение для Х, найдем X=1, откуда Y = 1-Z-X = 1