найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс. x^2/a^2+y^2/b^2=1

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
Используем неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_между_средним_арифметическим_и_средним_геометрическим
(x^2 / a^2 + y^2 / b^2) / 2 >= sqrt(x^2 / a^2 * y^2 / b^2)
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 >= 2 * x / a * y / b
2 * (x * y) / (a * b) <= x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

x * y - это 1 / 4 площади прямоугольника, вписанного в эллипс.
x * y принимает максимальное значение при равенстве:
x^2 / a^2 = y^2 / b^2
x^2 / a^2 + x^2 / a^2 = 1
x^2 / a^2 = 1 / 2
x = a / sqrt(2)
y = b / sqrt(2)
Найденные x и y - координаты вершины прямоугольника.
Его стороны в 2 раза больше:
a * sqrt(2) и b * sqrt(2)