Человек в соц сети скачал мое фото и поставил себе не аватар, Можно ли на него подать в суд?

Попытаться подать можно и на Путина, хорошего юриста вам в помощь

Можно.
Статья 152.1 ГК РФ Охрана изображения гражданина
Обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а также видеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина. После смерти гражданина его изображение может использоваться только с согласия детей и пережившего супруга, а при их отсутствии - с согласия родителей. Такое согласие не требуется в случаях, когда:
1) использование изображения осуществляется в государственных, общественных или иных публичных интересах;
2) изображение гражданина получено при съемке, которая проводится в местах, открытых для свободного посещения, или на публичных мероприятиях (собраниях, съездах, конференциях, концертах, представлениях, спортивных соревнованиях и подобных мероприятиях) , за исключением случаев, когда такое изображение является основным объектом использования;
3) гражданин позировал за плату.

Намного продуктивнее добиться от администрации сети удалить аккаунт за наруение

Конечно.

Нет, это Вы ему должны за паблисити )))

Больше заняться нечем?