нахождение суммы степенного ряда. нахождение суммы степенного ряда ∑n(n+1)x^n Если не сложно распишите пожалуйста.

Обозначим искомую сумму: S(x)=SUM n(n+1)x^n.
Проинтегрируем от 0 до х :

int[0; x] S(x)dx= SUM nx^(n+1)=x^2*SUM nx^(n-1);

Обозначим: f(x)=SUM nx^(n-1); опять проинтегрируем:

int [0; x] f(x)dx=SUM x^n=x+x^2+x^3+...=1/(1-x)-1=x/(1-x).

Значит, f(x)=d/dx x/(1-x)=1/(1-x)^2; x^2*f(x)=x^2/(1-x)^2.

Осталось продифференцировать: S(x)=d/dx x^2/(1-x)^2=2x/(1 - x)^3