Мышь лижет банку, но пить воду не стала, а вывернула крышку. Не могу понять в чем дело?!

Скорее всего ей не хватает минеральных солей. Можно дать мышке минеральный камень, если нет- кусочек древесного угля. Солевой камень тоже можно, но хуже. Простую соль давать нельзя.
В "старину" для минеральной подкормки грызунов использовали также старую штукатурку. Вариант неплохой, но нужно быть уверенным, что при приготовлении штукатурки не использовались пластические добавки (раньше их просто не было) .
Неплохой вариант также раковина сепии (каракатицы) можно купить в зоомагазине, только не берите крашенную и с вкусовыми добавками.
Поить мышь лучше из ниппельной (шариковой) поилки.