какую часть неба (полусферы) закрывает диск луны?

Углы малые, поэтому отношение площади диска луны к площади полусферы с радиусом до луны.
ПИ*r^2/(2ПИ&R^2) легко видеть, что (r/R)^2/2 а зная 2r/R - угловой размер луны fi=(2r/R), еще проще
fi^2/8
Угловой размер варьируется от 29,43 угловых минут до 33,5 угловых минут, спросили в интернетах, зависит от положения наблюдателя к положению луны на своей элиптической орбите, и земля тоже размерчик имеет. проще сказать половину градуса.

Переведя углы в радианы считаем
fi=8.73*10^-3
где-то 9.5*10^-6 или человечески понятным языком где-то одна стотысячная часть неба