две стороны параллелограмма лежат на сторонах треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма будет наибольшей
Пусть длина стороны с одной вершиной параллелограмма = a
и она делится на части x и y (a = x + y).
Тогда плошади треугольников вне параллелограмма пропорциональны
x^2 и y^2, а плошадь всего треугольника пропорциональна a^2.
Это объясняется тем, что эти 3 треугольника подобны друг другу.
Надо максимизировать площадь параллелограмма, которая пропорциональна:
a^2 - (x^2 + y^2) =
a^2 - (x^2 + 2*x*y + y^2) + 2*x*y =
a^2 - (x + y)^2 + 2*x*y =
a^2 - a^2 + 2*x*y =
2*x*y
Произведение 2 чисел (имеющих постоянную сумму) максимально,
если они равны (среднее арифметическое >= среднее геометрическое) .
Поэтому x = y и точка должна делить сторону пополам.
⇢