Откуда взялся мусор в динамическом массиве char?

А что вы хотели, в динамических массивах всего будет мусор. Их надо самостоятельно обнулять.
Просто вместо strlen(t) напишите везде strlen(t) + 1. На самом деле строка состоит из strlen(t) + 1 символов: strlen(t) буков и +1 последний - символ нуль-терминатор '\0', обозначающий конец строки.
У вас копирование одного массива в другой. Обнулять t1 не обязательно, потому что в массив t1 данные запишутся поверх тех, что уже были (t1[i] = t[i]). А если нужно обнулить строку (массив char) то один из способов это t1[0] = '\0'

Страуструп не умеет правильно готовить свой язык. Вернее, не понимает, что людей надо учить правильно его готовить. И твой код - это скорее код на Си, приправленный сахаром из C++. new тут тоже в роли сахара.
Такой подход годится программисту микроконтроллеров, там так пишут, там все равно STL нету.
Но такой программист не является профессионалом именно C++, и не может им работать.

И я это не просто так говорю. Если использовать более новый способ - не динамический массив, а vector (из STL) - то такой проблемы не будет. Вектор основан на динамическом массиве, но автоматически делает всю грязную работу.

для начала вместо std:: сразу перед main() напиши using namespace std; и больше никаких std::

　　 Я конечно же сомневаюсь, но попробуйте из чистого любопытства завершить строковую константу "Hello,World!" символом \0.

　　 Типы char* и char[] совместимы, но не идентичны!