Как удалить повторные вхождения каждого символа?

#include < iostream >
using namespace std;

void sdvig(char arr[100], int position)
{
while (true)
{
arr[position] = arr[position + 1];
if (arr[position] == '\0') return;
position++;
}
}

int main()
{
const int k = 100;
char filter[256]{};
char str[k];
cin.getline(str, k);
int i = 0;
while(true)
{
if (str[i] == '\0') break;
if (!filter[str[i]]) filter[str[i]] = str[i]; else sdvig(str, i--);
i++;
}
cout << str;
}

В статическом массиве не бывает удалений. Может быть только замена элемента на другое значение.

И в чем проблема? Написать условие, которое сверяет каждый повторяющийся цикл. Коли нельзя динамический, используйте статический - никакой разницы.
Если хотите без массива, как вариант прогнать весь цикл по количеству элементов.
Если проблема в создании нового массива, можно просто создать новый записав нужные значения, а старый удалить.

string str= "To be or not to be. That is the question!";
cout << str << endl;

char smb; int pos;

while (!str.empty())
{
cin.get(smb);
pos= str.find(smb);

if (pos != str.npos)
{
str.erase(pos, 1);
cout << str << endl;
}
}

　　 А не рациональнее ли отбрасывать повторы в процессе ввода???

　　 Поскольку класс string является случаем динамического массива, то остаётся использовать Си-строку (тип char* ). Также можно подключить заголовочную библиотеку string.h и использовать функцию strchr(). Если функция вернёт NULL, то добавить введённый символ к строке.

　　 Для посимвольного ввода лучше использовать метод cin.get(), он считывает ровно ОДИН символ. За один раз можно ввести всю строку ввиду буферизации ввода, а потом cin.get() будет считывать из буфера.