Как самой покрасить потолок? Нужна ли грунтовка?

Лучше всего - акриловая воднодисперсионная краска. Тогда и грунтовка нужна акриловая же, глубокого проникновения.
Побелку более чем желательно смывать. Можно, конечно, пытаться пропитать ее проникающей грунтовкой насквозь - но где гарантия, что она пройдёт действительно насквозь, а не оставит между прогрунтованным слоем и прочным основанием (штукатуркой) рыхлый слой мела, по которому потом новая краска отслоится?
Для смывания побелки я использую синтетический сетчатый мешок - в каких на рынок теперь везут лук и другие овощи. Макаю его в ведро с водой и протираю потолок - это совсем не трудно. Другой вариант - тряпка из старого тюля.
Акриловую краску я наношу валиком, но не ворсистым, а поролоновым.

побелку надо, дальше штукатурить если нужно, шпаклевать, грунтовать и красить

Грунтовать надо, грунтом глубокого проникновения, 2 раза. Погрунтовали и подождали 3-4час. . Известь всё равно надо смывать, а то краска потом вздуется и начнёт отставать. Красить водоэмульсионкой (2раза) , последний слой перпендикулярно окну. ВРОДЕ ТАК.

Возьмите сначала прогрунтуйте, делается для того, чтобы равномерно краса ложилась и моментально не впитывалась, плюс расход меньше. Потом берете валик со средним ворсом, и не торопясь, красите на 1 раз. Через 2 часа еще на раз.

Побелку обязательно надо снимать, потом пошкурить и прогрунтовать все, затем прошпаклевать, желательно тоже все, прошкурить еще раз, прогрунтовать а потом уже красить