Почему рассказ "Гранатовый браслет" закончился трагически? Возможен ли другой финал?

Потому что влюбленный обожествлял свою возлюбленную, сам себе создал из нее идеал наиболее высокий, какой мог придумать.
И другой финал, именно для Желткова, вряд ли возможен. Даже если бы (что для условий рассказа уже невероятно!) княгиня Вера Николаевна ответила на его любовь - он был бы еще более разбит разочарованием. Она уже не отвечала бы тому идеалу, который Желтков себе придумал, это была бы другая женщина, не та, которую он любит.
Наилучший для него вариант - любить ее на расстоянии, ничем не проявляя себя. Но поскольку Желтков не смог совершенно остаться в тени и своим поступком (подарком браслета) вызвал недовольство любимой, он выбрал тот вариант, который казался ему наиболее правильным - уйти совсем, чтобы своим присутствием не бросать тень на доброе имя княгини Веры Николаевны.

Конечно, возможен.
Все закончилось хорошо: Желтков нашел способ вернуть растраченные деньги, со временем успокоился бы, женился на приличной девушке с хорошим приданным. Став богатым человеком, он вошел в приличное общество, и регулярно посещал дом Шеиных, где был принят. По вечерам они со смехом вспоминали его давнее увлечение княгиней. У него с женой родилось трое детей, княгиня Вера Николаевна была крестной. Желтков же с женой, соответственно, крестили детей Шеиных. Все жили долго и счастливо.
Кто-нибудь заинтересовала бы подобная муть?
Пастернак писал: «По-моему, из искусства напрасно упустили дух трагизма… Я без трагизма даже пейзажа не воспринимаю. Почему могло так случиться, что мы расстались с этой если не основной, то с одной из главных сторон искусства?! (…) Как историки мы должны были отрицать трагизм в наши дни, потому что мы объявили трагичным все существование человечества до социалистической революции… Давайте переименуем это прежнее состояние, объявим его хоть свинством, а трагизм оставим для себя. Трагизм это достоинство человека и его серьезность, его полный рост…»
Вот именно поэтому без трагического финала не было бы произведения искусства.

-Сударыня, сударыня! Будем держаться как взрослые люди. И в трагических концах есть свое величие.
-Какое?
-Они заставляют задуматься оставшихся в живых.
-Что же тут величественного? Стыдно убивать героев для того, чтобы растрогать холодных и расшевелить равнодушных.

Потому что любовь несёт в себе гораздо больший энергетический заряд, нежели человеческая воля. Если наша воля может быть разрушительна для нас самих, то любовь — только созидательна, ведь она — творец всего сущего.
«Разве можно управлять таким чувством, как любовь, — говорит муж княгини Веры Василий Львович, — чувством, которое до сих пор ещё не нашло себе истолкователя». Требование убить в себе Любовь было бы для Георгия Желткова неисполнимым, оно привело бы к его духовной смерти — а это гораздо страшнее, чем смерть физическая.