Почему Соня Мармеладова пошла получать жёлтый билет, вместо того, чтобы искать другую работу?

Никакой другой работы для нее тогда не существовало.
Соня - дочь титулярного советника, то есть, служилого дворянина. Ее отец числился дворянином за чин 9 класса, но для получения потомственного дворянства ему не хватало одной ступеньки. Так что Соня по статусу - дворянская дочь.
Работать по найму могли только женщины низших сословий - крестьянки и мещанки - кухарками, посудомойками, прачками, горничными. Для подобного найма нужно было иметь определенные навыки и рекомендации. Молоденькая дворянская дочь чисто теоретически могла бы стать гувернанткой или компаньонкой, но у нее для этого не было никакого опыта.
Поэтому реально дорожка ей была только одна.

слабый характер и послушание
семье определила ее роль - жертвы
при такой семье она другой быть не могла

Не смогла найти, значит.

Что бы Сонечка ни делала, причина её поступков — любовь и жертва ради любви. Из любви к своему нерадивому отцу-алкоголику она отдаст последние гроши на опохмелку. От любви к детям она каждый вечер отправляется на панель, а от любви к Родиону.. Читайте книгу

Другой работы конечно было сколько угодно. Не забываем - это середина 19 века, женщин на заводы брали охотно, им можно было меньше платить. Так что на заводе работала бы практически за еду. И там пахать нужно. Для более серьёзных занятий требуется образование: кухарка как минимум должна уметь готовить, портниха шить. Хотя медсёстрами в больницах тогда работали преимущественно монашки, но могли и обычные женщины, если у них было достаточно квалификации. Можно было поступить в театральную труппу, какую не пробившийся в Петербурге, где уже требовался талант, собирал некий режиссёр для гастролей в провинции.
Но мораль того времени между актрисой и проституткой большого различия не делала.
А проституция это прежде всего быстрые деньги, чтобы что-то заработать не надо ехать на гастроли в Нижний Новгород с "Уж замуж невтерпёж" и надеяться, что одновременно туда же не приедет Комиссаржевская с "Бесприданницей".

Она пробовала шить, но зарабатывала на этом гроши. Допускаю - если бы Соня жила вдвоём с отцом, они могли бы худо-бедно выжить. Вся эта чудовищная ситуация возникла только из-за того, что Мармеладов женился на вдове с выводком чужих детей. Другую работу найти было невозможно из-за отсутствия нормального - не домашнего - образования или обучения ремеслу. Разумеется, какие-то другие выходы были. Уйти в монастырь или в крайнем случае стать содержанкой богатого и не злого купца. Такая ситуация была в одной из пьес Островского. Некому было подсказать и как-то устроить её судьбу. Мачеха использовала, а отец на родную дочь клин забил. У самой Сони не было независимости, упрямства, чтобы решиться бежать из дома и попытаться выжить. Не понимаю, откуда и по какой причине у неё возникло такое гипертрофированное чувство долга по отношению к чужой ей женщине и её детям. По логике - Соня должна была возненавидеть мачеху, а не кормить эту ораву, расплачиваясь своим телом.

другая работа - это какая? Кем могла работать девушка из бедной семьи в то время, не имея ни профессии, ни образования?
Горничной в приличный дом ее не возьмут без рекомендаций от прежних хозяев, гарантирующих ее честность и аккуратность в работе.
Кухаркой не возьмут потому, что у нее нет необходимых знаний для этого . Ведь кухарка должна готовить вкусно, а это не каждому дано вообще, к тому же этому еще и учиться надо у более опытных кухарок.
О работе гувернанткой речь вообще не идет, поскольку для этого нужно было официальное образование, а его у нее, насколько я помню, не было.
Остается только белошвейка-модистка. Но и для этого надо уметь хорошо шить. К тому же, начинать с нуля тяжело, пока не наберешь клиентов, а это не так просто. А взять в ученицы девушку с улицы для обучения никакая мастерица не согласится из опасения за собственную репутацию

Забей, достоевский как написал, так и бЫло

А у неё была другая работа. "Теперь же обращусь к вам, милостивый государь мой, сам от себя с вопросом приватным: много ли может, по-вашему, бедная, но честная девица честным трудом заработать?.. Пятнадцать копеек в день, сударь, не заработает, если честна и не имеет особых талантов, да и то рук не покладая работавши! Да и то статский советник Клопшток, Иван Иванович, --изволили слышать? --не только денег за шитье полдюжины голландских рубах до сих пор не отдал, но даже с обидой погнал ее, затопав ногами и обозвав неприлично, под видом будто бы рубашечный ворот сшит не по мерке и косяком."

А офисов и Лент с Макдональдсами в то время не существовало.

Да, ситуация непростая... Может быть нервно-истиричная мачеха и " тряпка"- отец толкнули Соню на панель - быстрый и немаленький заработок - моментальное решение проблемы питания и оплаты квартиры.... Мачеха вообще не собиралась "пристраивать" падчерицу на нормальную работу, а отцу -плевать-расплевать на дочь...

Работа как работа, что вам не нравится?

Заводов тогда еще не было, горничной ее бы не взяли, потому, что она из благородных, ее и ударить нельзя. Почитайте хотя бы Чернышевского, там все подробно расписывали. Образованные девушки давали уроки, но образования то и не было, и не было рекомендаций. Гувернанток и кухарок хозяин имел и забесплатно. Так что дорога была одна.

Потому что она была олицетворением жертвенности.