Загадка. Вы стартуете из любой точки Земли (кроме экватора и полюсов) по азимуту 90 (восток)...

Через ~10000 км (1/4 длины "окружности" Земли) .

То же самое при начальном азимуте 270° (запад).

Задачка имеет ДВА возможных решения, из которых уважаемый автор только одно считает верным. А всё потому, что для начала надо договориться о терминах - что такое "строго прямо".
Вариант 1. "строго прямо" - это когда СОХРАНЯЕТСЯ АЗИМУТ. Тогда очевидно, что движение всегда по азимуту 90 есть движение по параллели, и экватор никогда не будет пересечён.
Вариант 2. "Прямо" трактуется в терминах сферической геометрии, а азимут задаёт лишь НАЧАЛЬНОЕ направление. Тогда у нас движение по ортодромии, сиречь по дуге большого круга, и до экватора мы таки да, доберёмся, и таки да, через четверь окружности большого круга. То есть примерно через десять дыщ вёрст.

Вас какой вариант больше устраивает?

Угол на поверхности шара?
От сколь угодно близкого от экватора и полюса?
От нуля до бесконечности, исключая ноль и бесконечность.

А как двигаться? пешком?

через около одной четвёртой от длины окружности земли

Не взлетит: -)

Загадка из области школьно-полоумной фантастики.
Служил в армии. Во время проведения РПД за день приходилось преодолевать от 15 до 40 км по пересеченной местности. И там я понял, что человек никогда не сможет идти по прямой, как и летящий мотылёк. Причин для это много.
1. Левая нога у каждого человека немного короче правой. Там миллиметры, но уже на десяти километрах отклонение составляет 2-2.5 градуса от магнитного азимута.
2. Когда солнце в зените темперература на поверхности земли повышается, при повышении температуры магнитные поля меняют свою силу в том числе и в компасе. Отклонение незначительное, но на 20-30 км отклоняешься в право или в лево от конечной точки на пять км.
3. Организм человека всегда пытается защититься от губительного солнца. И как бы ты прямо не шёл ты уворачиваешь лицо от прямого попадания солнечных лучей. Естественно отклоняешься от азимута.
4. Если ты идёшь с ношей/грузом и поклажа не равномерно распределена и тянет твоё тело в право или лево, то ты отклоняешься в эту сторону. На 10 км почти на 2 км отклоняешься.
5. У человека в нутри, в мозгу есть свой компас, как у птиц и он работает отменно. Прекрасно чувствует истинный азимут и ведёт человека по нему отклоняя от магнитного. И в северных широтах отклонение меньше чем в южных из-зи разницы температур.
6. Очень важно по какой местности двигаешься. В пустыне, степи или скалистых горах разница имеет значение.
Это мои собственные наблюдения и опыт.
Так что ваша загадка просто чушь.

Мой ответ - никогда не пересеку.

Замечу только, что уточнение "...(кроме экватора и полюсов)... " в тексте загадки лишнее. На мой взгляд, ответ не изменится после удаления этого уточнения. Полагаю, что двигаться по прямой и пересекать её - суть разные вещи.

Половину окр. Земли

никогда

вы о магнитном азимуте говорите или об обычном?
если магнитном тогда из за разницы между обычными и магнитными полюсами мы получим что мы движемся не параллельно экватору а под неким углом
более подробный вопрос можно?

укажите значение магнитного склонения в точке наблюдения и скорость движения и я смогу расчитать ответ при условии, что движение происходит по идеальной сфере.
в остальных случаях точны математический ответ дать невозможно и задачу нужно рассматривать в филосовской плоскости.

Если бы я знал, что такое азимут-я бы попытался решить, но мне кажется, что я никогда не пересеку экватор так как буду двигаться параллельно нему.

как двигаюсь? пешком на оленях самолете или поезде? и вообще молодой человек земля имеет ландшафт