А почему при перемещении сверху вниз АТОМНЫЕ РАДИУСЫ элементов растут?

Всё просто - при перемещении вниз по группе увеличивается число электронов, а следовательно и занимаемый ими объём.

Заряд ядра здесь не играет роли, ведь последний электрон притягивается к ядру зарядом Z протонов, который экранируется зарядом (Z-1) предыдущих электронов, т. е. фактически к одному протону.
При этом энергия крайнего электрона большая (он находится на уровень выше, чем такой же электрон у предыдущего атома) , значит находится он дальше, чем в атоме водорода.

При перемещении вправо по периоду радиусы уменьшаются как раз из-за того, что внешние электроны расположены на одном и том же энергетическом уровне, а заряд ядра растёт.

Грубо говоря, при увеличении номера в пределах периода новые электроны размещаются на уже имеющихся электронных оболочках, поэтому размеры атома не увеличиваются. При переходе к новому периоду возникает новая электронная оболочка, вследствие чего размер атома становится больше.

Ну а более корректно это описывается квантовой механикой.

Вы о чём? По мере увеличения заряда ядра (увеличения кол-ва протонов) и ко-ва нейтронов, увеличивается объём и масса ядра. Электронов становится больше т. к. больше заряд. Добавляются новые оболочки и объём облака электронов тоже увеличивается. Слева-направо и сверху-вниз увеличивается масса ядра, как следствие, уменьшается его стабильность. Это связано с большим и малым ядерными взаимодействиями. При альфа распаде номер элемента уменьшается на 2 до стабильного 80 (свинец по-моему) , после свинца распад идёт только у некоторых изотопов. И чем тяжелее элемент тем a) он быстрее распадётся b) образует больше альфа-бета-гамма частиц.