Расскажите пожалуйста про производную... Желательно попроще.

Разница между тем что стало и что было деленная на то, чем меряешь разницу "стало-было". ..Когда "стало-было" махонькое-махонькое

Жила-была функция. Одна-одинёшенька. И не было у неё детей. Да и, собственно, откуда им взяться - это ж функция всё-таки.

Функция была очень гладкая. Она плавно взмывала вверх от оси абсцисс, потом не менее плавно ныряла вниз, в общем, приятно было на неё посмотреть невооруженным глазом. Если же глаз вооружить каким-нибудь оптическим прибором помощнее, открывалась страшная правда - под микроскопом функция в малой окрестности какой-нибудь своей точки не сильно отличалась касательной к себе в этой точке.

Функция, облепленная касательными - зрелище отталкивающее, и с этим надо было что-то делать. Возникло предложение касательные убрать, оставив от них только тангенсы углов наклона к оси абсцисс. Так внутри первой функции родилась вторая. Она была уже не такая гладкая, но всё ещё очень полезная. У неё можно было в любое время суток узнать поведение исходной функции в окрестности каждой своей точки - растёт ли та, убывает или вообще лежит неподвижно.

Когда люди увидели, как всё здорово получилось, они очень обрадовались. Французы, правда, по привычке поссорились было с англичанами за приоритет, но так как немцы и русские в спор не встревали, на этот раз обошлось без Мировой войны.

С тех пор стала гладкая функция и её маленькая помощница жить-поживать и добра наживать. А потом пришла толпа первообразных, и матанализ обрёл гармонию и счастье.

Производная - это СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ функции.

Функция растет - производная положительная.
Значение функции постоянно на каком то отрезке? Производная равна нулю.

Например Ваш IQ растет примерно до 25 лет.
Производная интеллекта по возрасту - высокая в течение первых лет жизни и низкая, но положительная к 20 годам.

Примерно от 25 до 35 производная - около нуля, интеллект не растет.
После 35 она - отрицательная, IQ медленно падает.