Могут ли черeз посольство страны найти информацию о моём родственнике в этой другой стране?

У Посольства совсем другие функции, они этим не занимаются. Зайдите на сайт посольства и там есть перечень, чем они занимаются.
Иногда может помочь поиск, просто напечатайте фамилию, имя, отчество и вам выскочит несколько людей с такими данными.
В США есть сайт поиска людей внутри страны, при том, данные очень подробные, вплоть, кто соседи..
Поискать можно и на "Одноклассниках", там есть русскоязычные с многих стран.

да не будет посольство этим заниматься, это не в их компетенции, еще бы они всем родственников не искали. сами ройтесь, ишите по желтым страницам, сайт типа ancestry.com

Прежде всего, про посольство забудьте сразу -- оно существует не для Вас, а для поддержания отношений между правительством своей страны и правительством Вашей страны. Все, что касается жизни граждан и предприятий, решается через консульства.

Помогут ли Вам в консульстве? Я лично ОЧЕНЬ сильно сомневаюсь. По крайней мере по двум причинам. С одной стороны, Вам это консульство ничего не должно -- Вы к правительству, от имени которого оно работает, не имеете ни малейшего отношения и никаких оснований что бы то ни было у него требовать. С другой стороны, консульство (и вообще все учреждения правительства) в уважающей себя стране связаны законами об охране персональных данных. И если чисто случайно окажется, что какое-то учреждение правительства раскрыло частному лицу охраняемые законом данные о Вашем родственнике без его согласия, кому-то за это может сильно влететь, вплоть до увольнения с работы.

Потенциально годных вариантов в такой ситуации есть два:

1. Обратиться в консульство ВАШЕЙ страны в стране, где живет Ваш родственник. Оно, в отличие от обратного, может (если захочет) дать Вам совет относительно того, как стоит действовать в подобной ситуации.

2. Забить на медвежьи услуги правительств и копать частным порядком -- списки зарегистрированных избирателей, списки плательщиков налога на недвижимое имущество, регистрация транспортных средств, кредитные бюро и прочая и прочая... Есть люди, которые этим занимаются на постоянной основе за определенную мзду -- в большинстве случаев в целях розыска должников и наследников...

через консул могут