зачем нужны подпрограммы? и зависит ли это от ее метода (свойство, функция или процедура)

Изначально подпрограммы создавались для сокращения повторяющихся участков основной программы. Теперь подпрограммы применяются для упорядочивания и структурирования кода. В зависимости от языка они могут быть оформлены как процедуры, функции, или методы. Некоторая разница в применении есть, но объяснять долго. Свойство подпрограммой не является - это эквивалент переменной.

Это аналогия математической функции с произвольным аргументом, либо функция использующая систему функций в зависимости от области определения аргумента, в ЯП использующие ветвления, для различной реакции на аргумент...

Возможно, они уменьшают нагрузку на компьютер (загрузка ОЗУ, например), то есть вызываются поочередно в нужный момент, а не сразу подгружаются всем скопом.

Все транслируется на ассемблер в конечном итоге. Далее в самой микросхеме процессора из ПЗУ вызываются микропрограммы этой команды ассемблера. Далее по каждой операции микрокоманды - включаются нужные связки транзисторов на микросхеме. Т. е. код - на самом деле линеен, но с операторами условного перехода и метками типа goto.
Структурное программирование - это просто удобство.

зачем нужны подпрограммы?
Например функция sin() условный пример - зачем её постоянно переписывать. Один раз написать где то в модуле. И потом пользоваться когда надо.

и зависит ли это от ее метода (свойство, функция или процедура)
функция или процедура - оно и есть.
свойство - не понял что это? Свойство объекта ООП?! Это дальнейшее развитие удобства.

"удобство" - это скорость решения поставленной задачи.