Объясните пожалуйста алгоритм упрощенного метода ньютона

Есть два упрощения метода касательных Ньютона: можно вычисляться производную функции, нуль которой нужно отыскать, в начально задаваемой точке только один раз. Это может помочь в несколько раз сократить вычисление корней каких-нибудь сложных уравнений. Для примера можно рассмотреть численное решение трансцендентного уравнения вида
x - cos x = 0
на а/я Pascal:

 uses crt; 

var i, j, n: integer; x, v: real; 

function f(x: real): real; 

begin 

    f := x - cos(x) 

end; 

begin 

    clrscr(); 

    n := 0; 

    write('x₀ = '); 

    readln(x);

    v := 1 + sin(x); 

    for i := 1 to 16 do 

        begin 

            x := x - f(x) / v; 

            writeln(i: 2, ')', x: 20: 16); 

        end 

end. 

Во втором упрощении сжимающее отображение для искомого корня задаётся так:
x = x - 2h•f(x)/(f(x+h)-f(x-h)) - здесь функция f, нуль которого ищется, вычисляется трижды на трёхточечном шаблоне, а производная заменяется её разностным аналогом, поскольку что представляет из себя истинная производная одномерной функции может быть заранее даже неизвестно. В этом упрощающем алгоритме Ньютона итераций обычно меньше чем в первом:

 uses crt; 

var n: integer; x, h, d: real; 

function f(x: real): real; 

begin 

    f := x - cos(x) 

end; 

begin 

    clrscr(); 

    h := 1e-4; 

    d := 2e-4; 

    write('x₀ = '); 

    readln(x); 

    for n := 1 to 5 do 

        begin 

            x := x - f(x) * d / (f(x + h) - f(x - h)); 

            writeln(n: 2, x: 20:16) 

        end 

end. 

Во втором случае итераций требуется всего четыре, зато в первом упрощающем алгоритме Ньютона косинус на каждом шаге итерации вычисляется только один раз, а во втором три, так что первый алгоритм действительно в чём-то проще второго, поэтому он обычно и называется упрощённым методом Ньютона.

Упрощённый метод Ньютона отличается тем, что значение производной считаем один раз в единственной точке.

Для поиска корня уравнения: f(x) = 0:

1. Берём какую-то начальную точку x[0].
2. Один раз считаем значение производной функции: q = f'(x[0]).
3. Считаем точку x[1] = x[0] - f(x[0]) / q
4. Считаем точку x[2] = x[1] - f(x[1]) / q
5. И т.д. в цикле: x[i + 1] = x[i] - f(x[i]) / q
6. Останавливаем вычисления, когда |x[i] - x[i - 1]| < ε

Метод секущих - это немного сложнее, но не требует производной.

Упрощенный метод Ньютона, также известный как метод касательных, является одним из численных методов для приближенного решения уравнений. Он основан на следующем алгоритме:

Задать начальное приближение решения x₀.
Вычислить значение функции f(x₀) и ее производной f'(x₀) в точке x₀.
Построить касательную к графику функции в точке x₀. Эта касательная будет аппроксимировать график функции в окрестности точки x₀.
Найти пересечение касательной с осью абсцисс. Это и будет новое приближение решения x₁.
Повторять шаги 2-4 с использованием x₁ вместо x₀, пока не будет достигнута заданная точность.
Алгоритм упрощенного метода Ньютона предполагает, что функция f(x) является достаточно гладкой и имеет непрерывную производную. Он может быть использован для решения уравнений любой сложности, включая трансцендентные и алгебраические уравнения.

Важно отметить, что этот метод не гарантирует нахождение корня уравнения и может сходиться к ложному корню. Также он может сходиться медленно или не сходиться вообще, если начальное приближение выбрано неправильно или функция имеет особенности в окрестности точки x₀. Поэтому при использовании упрощенного метода Ньютона необходимо следить за сходимостью и правильно выбирать начальное приближение.