Почему Западная Римская Империя пала, а Восточная процветала до 15.в?

Ну процветала, это, пожалуй, смело сказано. Но в целом вопрос интересный. Во-первых экономика западной части империи была значительно слабее восточной. А экономика - это основа военной мощи. Во-вторых географическое положение западной части было менее выгодным с военно - стратегической точки зрения - имелась обширная граница с "варварами" не имевшая естественных рубежей. В-третьих "варваризация" населения и правящих кругов на западе зашла значительно дальше чем на востоке. Фактически, к концу существования западной империи ее вооруженные силы состояли исключительно из тех же народностей, которые ее и завоевывали. В-четвертых политическая власть на востоке оказалась значительно более устойчивой и консолидированной чем на западе. На востоке почти не было внутренних войн. На востоке было больше городов, жители которых были носителями античной культуры и поэтому не очень желали прихода "варваров". На западе к тому времени торгово - экономические связи были почти оборваны, отдельные села и деревни стали практически экономически и даже политически автономны, это вело к бессилию центральной власти. На востоке сохранялась торговля, культурные связи и др. Господствующей религией было христианство, в то время как на западе еще шла борьба между христианами и остатками язычников. Все эти факторы позволили восточной части империи пережить великое переселение народов, ну а дальше в ней уже сложился свой господствующий этнос, чего не было, кстати, в Римской империи. Плюс преимущества высокой по тому времени культуры и техники (в том числе военной) , совершенная организация, идеологическое влияние - это позволило Византии существовать еще очень долгое время.