Чтобы оформить на себя квартиру. Куда нам идти и сколько это будет стоить?

обратитесь к нотариусу для оформления соответствующего договора (завещание, дарение, рента и проч.) Нужны паспорта обоих, правоустанавливающие документы на квартиру

Квартира у кого в собственности? Если у вашего родственника, то пусть напишет завещание. Если муниципальная и постоянно зарегистрированы, то никуда ходить не надо. Вы и так останетесь там жить. А дальше можете ее приватизировать.

а квартира в собственности родственника?

НЕ сможет сам дойти до нотариуса, вызовите на дом для составления завещания. Стоимость с вызовом: телефон.. позвонить. Не связывайтесь дарением, дороже будет, если сами не сможете все довести до ума. и старика мучить не надо.
Зарегистрированы в квартире, никакой оценки недвижимости при наследовании не будет и гос. пошлины тоже. Наследственное имущество дороже и не надо думать о тех копейках. которые придется заплатить при наследовании.
Главное, в теч. 6-ти мес подать заявление и можете по рублю откладывать сколько угодно времени и получить свидетельство о праве на наследство хоть через 10 лет. Право собственности возникнет с даты смерти наследодателя, а право распоряжения ( продать, подарить). сможете когда оформите переход права собственности в Росреестре на свое имя.

Лучше при жизни оформлять дарение - 2000 госпошлина (не считая услуг юриста).
Если оформите завещание - потом немалые деньги отдадите нотариусу (помимо самого завещания) за принятие наследства

В МФЦ зарегистрируйте договор дарения между родственниками (образец можно скачать в тырнете), пошлина за регистрацию нового права собственности 2000р. Нотариус влетит от 10000р до 30000р в зависимости от оценки квартиры. )))