Муж, гражданин Молдовы. Получил Российское гражданство. Какие док-ты нужны для его прописки?

а он и не сможет претендовать. у вас приватизирована квартира? если да. то ему в случае развода ничего не светит. так как это ваша собственность и разделу не подлежит.

прописаны только вы? если нет, то письменное согласие прописанных, даже отсутствующих, необходимо (в том случае если квартира в соц. найме)

Ну так прочтите Административный регламент регистрации граждан
("регистрация" эквивалентом житейского слова "прописка")

Решите, будете ли Вы его регистрировать по месту жительства или по месту пребывания

Ну и

16. Для регистрации по месту пребывания гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:
- документ, удостоверяющий личность;
- заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 1 к Регламенту) ;
- документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному адресу (договор найма (поднайма) , заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение) .

17. Для регистрации по месту жительства гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:
- документ, удостоверяющий личность;
- заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 6 к Регламенту) ;
- документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц) , предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение) , решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением) . Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов.

Про "претензии на жилплощадь" ответил в комментах.