Перестанет ли кошка гадить после стерилизации

Метить она вряд ли перестанет, в таком возрасте это стало привычным. А вот кастрировать надо еще и из других соображений : кастрация убережет кошку от онкологии репродуктивных органов, которые возникают от пустых течек.

Стоит в любом случае - если, конечно, она не представляет племенной ценности.
Это может быть мечением вследствие необходимости привлечь кота - да, кошки метят тоже.
Это может быть признаком начинающихся проблем с почками - целесообразно показать ее толковому (а не вашему!) ветеринару, вероятно сдать анализы...

должна перестать.

Стоит--в любом случае.

Кота ей нужно.

Мне кажется, что это никак друг с другом не связано. Если кошка не признает лоток, то значит ей что-то в нем не нравится (наполнитель, его размещение, запах, размер и пр.) и она недовольна, и возможно гадит она уже по привычке, это может также указывать на серьезные заболевания, например - цистит. Лоток должен стоять в спокойном и доступном для питомицы месте, если причина кроется в этом, то ее поможет решить зоопсихолог. Стерелизовать стоит не только из-за этого, стерелизация облегчит жизнь как и кошке, так и вам. Если вы не планируете потомство от кошки, то вот еще один повод стерелизовать кошку. Заболеваний вследствии частых течек много - кистоз, пиометра, онкология и т. д.

За такое надо не стерилизовать, а ампутировать череп ибо проблема кроется там. Другие методики не помогут.

не перестанет

нет, это она за что-то мстит