Не работает код Python

У тебя выражение

 a == 'Hi' or 'hi' or 'Hello' or 'hello' 

вычисляет совсем не то, что ты думаешь.
Сначала вычисляется выражение

 a == 'Hi' 

Допустим, в переменной 'a' лежит фраза "незнаю, не играл" или "я дундук", что, в принципе, - синонимы. Тогда это сравнение даст False.
Тогда будет вычисляться следующий операнд or, и он выдаст 'hi', которое в переводе в логическое значение будет считаться True (потому что это - непустая строка). И на этом условие if выполнено.

Сравнить строку на принадлежность списку можно так:

 if a in { 'Hi', 'hi', 'Hello', 'hello' }: 

Здесь 4 строчки упакованы в множество, а поиск по множеству выполняется эффективнее, чем по списку.

Или можно сделать ещё короче, и заодно захватить все возможные комбинации регистра (hI, HI, hEllO и т.п.):

 if a.title() in { 'Hi', 'Hello' }: 

А условие цикла - заведомо не имеющее смысла. Либо проверяем в условии всю эту кухню с 'Hi' и 'Hello', либо делаем бесконечный цикл, а выход - через break:

 while True:

    a = input()

    if a in { 'Hi', 'hi', 'Hello', 'hello' }:

        print('Greetings to you!')

    else:

        break 

(и тогда a = 1 в начале программы - не нужно)

Из-за or. У меня такое же было. Попробуй ту строку заменить на эту:

 if a == str("Hi" or "hi") or str("Hello" or "hello"):