Разбор слова по составу

Думаю, что клас-корень ть-окончание с может суффикс
Слова
кладу покласть...

«класть» в словарях русского языка

Русский орфографический словарь
кла́сть (ся) , кладу́, кладёт (ся) ; прош. кла́л (ся) , кла́ла (сь)

Морфемно-орфографический словарь
кла́с/ть (ся)

Словарь ударений
класть (ся) , кладу́, кладёшь, кладёт (ся) ; клал (ся) , кла́ла (сь) , кла́ло (сь) , кла́ли (сь)

Школьный этимологический словарь русского языка

КЛАСТЬ. Общеслав. Того же корня, что и др. -в. -нем. hladen «класть» , англ. to lade, нем. laden «нагружать» , латышск. klāt «раскладывать» и др. Первоначальное *kladti > класть в результате изменения dt > tt > ст и отпадения конечного безударного и. См. клад.

Фразеологический словарь русского литературного языка

КЛАСТЬ В ДЛИННЫЙ ЯЩИК что. ОТЛОЖИТЬ В ДЛИННЫЙ ЯЩИК что. Разг. Экспрес. Откладывать, оставлять что-либо без внимания, без движения и т. п. на неопределённо долгое время. Вчера писал я к брату и разбранил тебя, как журналиста, за то, что кладёшь в длинный ящик критические статьи (Д. Веневитинов. Письмо М. П. Погодину, 7 янв. 1827).

Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений
класть см. оценивать помещать пальца в рот не клади

класть окончание ть основа клас корень лас приставка к.

клас- корень, ть -окончание, основа - клас

кла это корень с суффикс а ть окончание инфинитива вроде

ть- постфикс, к-приставка, ла-корень с-суффикс

класть
корень: клас
суффикс: ть
окончание: нулевое