можно ли приобрести горящую путевку, если в эту страну еще нет визы? Или эту визу быстро сделает само агенство?

Агентство, во-первых, ничего само не сделает. Если вы покупаете пакетный тур, визой туроператор будет заниматься.
Визу иногда можно открыть за несколько дней, а иногда нет. Это зависит от страны, сезона, туроператора и много еще от чего.
Кроме того, по своему опыту (работаю в турагентстве 16 лет) могу сказать, что оформление визы, когда сроки поджимают, происходит " в режиме ошпаренной кошки". Будьте готовы к этому. Ладно, если вы в Москве, а если еще документы надо пересылать - вообще веселье, на это тоже время требуется.
Поэтому горящие туры в визовые страны можно ловить

1) С открытой визой
2) С готовыми документами для визы
3) С возможностью подготовить документы молниеносно. Иногда даже справку с работы приходится ждать, смотря какие порядки на предприятии.

Если есть вопросы, пишите на Kalinka1804СОБАКАgmail.com. Работаю как независимый турагент, могу подобрать и забронировать тур из любого города России.

Быстро это вряд ли.
В основном горящие путевки продают в безвизовые страны. Либо тем туристам, у которых виза уже есть (мультишенген)

Конечно, можете. Мы только так и летали. Узнайте последний день сдачи документов на визу и в этот день покупайте тур. Например, если вылет в Испанию был в пятницу, то документы сдавали в понедельник. И цена на тур была наименьшая в понедельник. По любой стране такую информацию можно получить в агентсве или у туроператора

нет. если это Европа - точно нет, такие "горящие" путевки предполагаются для тех, у кого есть виза.

в среднем виза делается за пару дней. Да и не встречал я стран с визовым контролем куда предлагают горящие путевки)