Нужно ли разрешение отца на вывоз ребенка в Черногорию на отдых, если запрет не наложен им? Это же безвизовая страна.

Тут есть два момента.
1. Выезд из России.
В соответствии со статьей 20 Федерального Закона №114, если ребенок (любой несовершеннолетний гражданин) покидает территорию РФ без сопровождения родителей, ему достаточно иметь при себе нотариально заверенное согласие ОДНОГО из них. Если же он едет в сопровождении одного из родителей или опекунов, то согласие второго родителя НЕ ТРЕБУЕТСЯ. В разводе родители или нет - ЗНАЧЕНИЯ НЕ ИМЕЕТ. На эту же тему есть официальное разъяснение Погранслужбы ФСБ РФ:
И никаких там "на всякий случай"...
Разумеется, даже при наличии собственного паспорта ребенку при себе ОБЯЗАТЕЛЬНО надо иметь оригинал (!) свидетельства о рождении.
2. Въезд в другую страну.
Тут уже работают законы той страны, в которую Вы едете. Большинство безвизовых стран (но не все) типа Турции, Египта, Таиланда, Туниса и т. д. вообще не требуют никаких подобных документов ни при каких обстоятельствах. "Но большинство" не означает "все".
Вот что говорит Посольство Черногории в Москве на эту тему (цитата) :
При выезде в Черногорию несовершеннолетнего ребенка с одним из родителей обязательно требуется нотариально заверенное согласие на выезд ребенка за рубеж от другого родителя.
При выезде в Черногорию несовершеннолетнего ребенка с одним из сопровождающих обязательно требуется нотариально заверенное согласие на выезд ребенка за рубеж от обоих родителей.

Так что нашим-то пограничникам это согласие нафиг не нужно, а вот в Черногорию без него Вашего ребенка имеют полное право не пустить.

страна без визовая для РФ, а согласие на выезд ребенка обязательно - априори

Не требуется.

А при чем тут виза? Разрешение нужно на пересечение ребенком границы государства и плевать в какую страну он отправляется.

нужно, даже если не попросят показать на границе показать - всяко спокойнее, что оно есть.. чем боятся пограничников.

По закону России не нужно, если ребенок следует с одним из родителей. Но на прктике бывает, что придираются на границе. Можно позвать главного и пожаловаться, сославшись на закон (В случае выезда из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации совместно с одним из родителей согласия на выезд ребенка за границу от второго родителя не требуется. (Основание ст. 20 Федерального закона от 15 августа 1996 г. № 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» ) Обычно помогает.