прямоугольник вписан в элипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника чтобы его площадь была наибольшей ?

Обозначим через x и y половины сторон прямоугольника, тогда площадь прямоугольника вписанного в эллипс равен 2x\cdot2y, где x и y находим из уравнения эллипса

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, x-одна стороны прямоугольника; y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} - вторая сторона прямоугольника

тогда площадь прямоугольника =f(x)=2x\cdot2y=2x\cdot\frac{2b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2}

f'(x)=\frac{4b(a^2-2x^2)}{a\sqrt{a^2-x^2}}
f'(x)=0

x_1=a\sqrt{2}, x_2=-a\sqrt{2} (не удовл.)

x=\frac{a}{\sqrt2}
y=b\sqrt{1-\frac{a^2}{2a^2}}=\frac{b}{\sqrt2}

т.к. оси эллипса 2b и 2a, значит x=a\sqrt{2}, y=a\sqrt{2}