провести полное исследование и построить график функции y=x/lnx

Вольфрамальфа в помощь.
Область определения: x>0 (из определения логарифма), x=/=1 (т.к. lnx=/=0 -- на 0 делить нельзя)
Область значений вся числовая ось.
Асимптота вертикальная x=1.

Асимптота наклонная y=kx+b (x->oo):
Lim x/(x*ln x)=Lim 1/lnx = 0 = k
Lim (x/ln x - 0*x) = oo = b => асимптоты не существует (см. наклонная асимптота)
Не периодическая (см. определение) и ни четная, ни нечетная (см. определение).
Убывает на x от 0 до 1, возрастает от 1 до оо.
Экстремум (минимум) на (1;oo] один -- x=e.