задали самостоятельно вывести признаки делимости на 24 и 60,подскажите пожалуйста, как они вообще выводятся?

Это можно сделать так.
Любое двухзначное число можно представить в виде:
10а+b
где a, b - цифры этого числа
Делимость на число M можно выразить через коэффициент кратности, которым и будет являться число М: M*k, где k - целое число
Тогда для определения условия делимости двухзначных чисел нужно составить уравнение:
10a+b=M*k
Разберем на частном примере. Выясним свойство делимости на 3, тогда M=3.
10a+b=3k, делаем преобразования
10a+b=9a+a+b=3k ==> 9a/3+(a+b)/3=k ==> 3a+(a+b)/3=k - целому числу
Т. е. достаточное условие делимости: сумма цифр числа (а+b) должна делиться на 3
Пример: 72, 7+2=9 - делится на 3, значит число 72 делится на 3
54, 5+4=9 - делится на 3, значит 54 делится на 3
37, 3+7=10 - не делится на 3, значит 37 не делится на 3.
Делимость на 4:
10a+b=4k ==> 8a+2a+b=4k ==> 2a+(2a+b)/4=k
Для делимости на 4 достаточно, чтобы 2a+b делилось на 4
Пример: 72, 2*7+2=16 делится на 4, значит 72 делится на 4
56, 2*5+6=16 делится на 4, значит 56 делится на 4
46, 2*4+6=14 не делится на 4 значит 46 не делится на 4
Делимость на 5:
10a+b=5k ==> 10a/5+b/5=2a+b/5=k, последняя цифра числа b должна делиться на 5
Делимость на 6:
10a+b=6k ==> 10a+2a-2a+b=6k ==> 12a-(2a-b)=6k ==> 2a-(2a-b)/6=k
Т. е. 2a-b должно делиться на 6
Пример: 84, 2*8-4=12 делится на 6 значит 84 делится на 6
54, 2*5-4=6 делится на 6 значит 54 делится на 6
62, 2*6-2=10 не делится на 6 значит 62 не делится на 6
Делимость на 7:
10a+b=7k ==> 7a+3a+b=7k ==> 7a+3a+b+6b-6b=7a+7b+3a-6b=7(a+b)+3(a-2b)=7k ==>
(a+b)+3(a-2b)/7=k, т. е. a-2b должно делиться на 7
Пример: 84, 8-2*4=0 делится на 7, значит 84 делится на 7
91, 9-2*1=7 делится на 7 значит 91 делится на 7
98, 9-2*8= -7 делится на 7 значит 98 делится на 7
57, 5-2*7= -9 не делится на 7 значит 57 не делится на 7
И т. д.
В общем виде нужно работать с многочленом
10^n*a_n+10^(n-1)*a_(n-1)+...+10^1*a_1+a_0

Что касается вашего вопроса.
Раскладываем 24 на множители: 24=8*3, т. е. чтобы число делилось на 24 оно должно одновременно делиться на 8 и на 3.
Т. е. сумма числе числа должна быть кратна 3, и число записанное последними его 3 цифрами должно делиться на 8
Например: 1368, 1+3+6+8=18 делится на 3 и 368 делится на 8 (368=2*184=2*2*92=2*2*2*46=8*46)
Т. е. 1368 делится на 24

Раскладываем 60 на множители: 60=6*10
Делимое число должно одновременно делиться на 6 и 10
Делимость на 6 простое: число должно делиться на 3 и на 2 одновременно, т. е. сумма цифр числа должна делиться на 3 и оно должно быть четным
Пример:
66665, не делится на 60, т. к. не делится на 10
45190: делим на 10 ==> 4519 - число нечетное, значит на 60 не делится
45160: делим на 10 ==> 4516 -четное, продолжаем ==> 4+5+1+6=16 - не делится на 3, значит не делится на 60
45360: на 10 ==> 4356 - четное ==> 4+3+5+6=18 - делится на 3, все условия выполнены - число делится на 60.

P.S. Если интересует, как выводится общее свойство делимости на 8, напишите, отвечу в комментариях. Там просто - нужно немного поработать с многочленом общего вида.