Две окружности разных радиусов касаются внутренним образом в точке В. Касательная, проведенная к меньшей окружностив некоторой точке Р, пересекает большую окружность в точках А и С. доказать, что ВР - биссектриса угла АВС
Продолжим ВР до пересечения внешней окружности в точке Е. Соединим центр внешней окр-сти О1 с Е, а центр внутр. око-сти О2 с Р. Треуг-ки ВО2Р и ВО1Е равнобедренны: О2В=О2Р (меньшие радиусы) , О1В=О1Е (большие радиусы) . Угол О1ВЕ общий. Поэтому указанные треуг-ки подобны. Отсюда углы на вершинах ВО1Е и ВО2Р равны или О1Е параллельна О2Р. Т. к. АР касательная, то она перпендикулярна О2РСледовательно, О1Е перпендикулярна АС, или радиус О1Е делит дугу АЕС пополам. Поскольку дуги АЕ и ЕС равны, то соответствующие внутренние углы АВЕ и ЕВС равны: ВЕ - биссектриса угла АВС. Теорема доказана.
⇢